Sorry, ik heb het zelf opgelost.
Het probleem is de volgorde van het declareren van schema's.
Het werkte als ik deze wijziging probeerde.
/* first, children's schema */
var ChildSchema = new Schema({
name: String,
}, {_id: false});
/* seconds, parent's schema */
var UserSchema = new Schema({
name: String,
children: [ChildSchema],
});