Dit is ook niet het exacte antwoord dat u zoekt, maar u kunt redelijk dichtbij komen met $in operator:
db.i.find({
children : { $in : arr}
})
Houd er rekening mee dat dit niet het bovengenoemde resultaat oplevert (het zal alle waarden in de array uitvoeren en niet {_id:"1",children:["1.1"]}, ).
Maar u kunt doen wat ik heb voorgesteld en daarna in uw toepassing alle resultaten herhalen en alleen de kruising van kinderen met uw array uitvoeren.