Ik heb een oplossing voor dit probleem gevonden - niet echt een oplossing, maar ik zit in de IT, dus het is dichtbij genoeg.
Ik gebruikte Java 7u51.
Ik ging naar het configuratiescherm -> Java -> Geavanceerd
Onder Geavanceerde beveiligingsinstellingen heb ik geselecteerd:
Use SSL 2.0 ClientHello format
Use SSL 3.0
Use TLS 1.0
(dat zijn de soorten verbindingen die de server accepteerde)
Ik ging ook naar het tabblad Beveiliging en voegde de site toe aan de lijst met uitzonderingssites
Ten slotte ging ik naar het Java-tabblad en klikte op Weergeven. Ik deselecteerde vervolgens Java 1.7.0_51 van mijn geïnstalleerde JRE's.
Ik ben niet helemaal duidelijk over hoe / waarom dit allemaal werkte bij het verwijderen en uitschakelen van andere versies van Java niet. Maar ik ben blij dat de site weer werkt.
Ik hoop dat dit iemand anders in de toekomst helpt.