MySQL voegt zich bij veel tot veel enkele rijen

Je hebt twee joins nodig:

SELECT
    product.productID,
    category.categoryID,
    product.name,
    product.price,
    category.name
FROM product
JOIN product_cat ON product.productID = product_cat.productID
JOIN category ON category.categoryID = product_cat.categoryID

Als een product in geen enkele categorie valt en je het toch wilt retourneren, verander dan JOIN in LEFT JOIN op beide plaatsen.

Een alternatieve benadering:

SELECT
    product.productID,
    product.name,
    product.price,
    GROUP_CONCAT(category.name)
FROM product
JOIN product_cat ON product.productID = product_cat.productID
JOIN category ON category.categoryID = product_cat.categoryID
GROUP BY product.productID

Het is echter misschien beter om gewoon twee zoekopdrachten te gebruiken in plaats van meerdere waarden in een enkele cel te plaatsen.