Opgelost!
De suggestie van Arthur Licis was de sleutel. Op de een of andere manier was het mysql-stuurprogramma onjuist gedownload. Het leek een .jar-bestand, maar kon niet worden geladen. Tomcat toonde alleen het eerste niveau van de uitzondering:
java.lang.ClassNotFoundException: com.mysql.jdbc.Driver
[...]
Maar toen ik een heel eenvoudige helloworld codeerde met Class.forName("com.mysql.jdbc.Driver"), werd in plaats daarvan de volgende fout weergegeven:
java.lang.ClassNotFoundException: com.mysql.jdbc.Driver
[...]
Caused by: java.util.zip.ZipException: invalid LOC header (bad signature)
[...]
Eureka! Het openen van het .jar-bestand op WinRar laat zien dat het open kan zijn... maar met enkele fouten.
Het opnieuw downloaden van de driver loste het probleem op.
Downvote voor mezelf :-(