Als ik je goed begrijp, worden de geselecteerde waarden opgeslagen in de door komma's gescheiden tekenreeks en zijn de getallen de waarden waar eerder geselecteerd.
In dat geval is het antwoord simpel:
<select name="w_owning_branches[]" size="10" id="w_owning_branches" multiple="multiple" required>
<option value="" class="dropdown-option"> Select Owning Branch </option>
<?php do {
$value = $row_branches['branch_id'];
$name = $row_branches['name'];
$selected = '1,2,3,4,5,6';
echo "<option value='$value'".(in_array($value, explode(",",$selected)) ? " selected='selected'":"").">$name</option>";
} while ($row_branches = mysql_fetch_assoc($branches)); ?>
</select>