Je zou het als een array als deze moeten behandelen,
<input name="checkbox[]" type="checkbox" value="<?php echo $row['link_id']; ?>">
Alleen dan kun je het tellen en het herhalen voor verwijdering.
U moet ook de databaseverbinding doorgeven aan de query.
$result = mysqli_query($dbc, $sql);
De jouwe bevatte het niet:
$result = mysqli_query($sql);