Ik kan er niet achter komen hoe ik mijn laatste inlogtijd moet bijwerken

In uw vraag hier:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Probeer de aanhalingstekens rond date_last_inlog te verwijderen of verander ze in backticks:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Gebruik ook niet de mysql_* functies, gebruik mysqli of PDO in plaats van. Uw code is kwetsbaar voor SQL-injectie.